Princípio Fundamental da Contagem (PFC)

Uma urna contém os algarismos 1, 2 e 3. Quantos números diferentes podem ser formados retirando os três algarismos sucessivamente sem repô-los na urna?

Esse problema pode ser resolvido facilmente usando-se uma árvore de possibilidades - diagrama de árvore.

Podemos observar que 6 números diferentes podem ser formados.

Em cada uma das etapas temos um certo número de possibilidades. Como temos um evento ocorrendo sequencialmente e cada uma das etapas é independente uma da outra, então a quantidade de números diferentes que podem ser formados pode ser obtida pelo produto das possibilidade de cada etapa.

Dessa forma, temos que, a quantidade de números n diferentes que podem ser formados pode ser calculada da seguinte forma: n = 3 · 2 · 1 = 6

Definição

Se um evento é formado por etapas sequenciais e independentes, de modo que a primeira etapa possui

p1 possibilidades, a segunda p2 possibilidades e a última etapa possui pn possibilidades, então o total

de possibilidades da ocorrência do evento é o produto das possibilidades de cada uma das etapas, ou

seja, p1 · p2 · ... · pn. Esse método é conhecido como Princípio Fundamental da Contagem ou

Regra do Produto ou Princípio Multiplicativo.

Exemplo 1:

Para ir de uma cidade X até uma cidade Y existem 5 caminhos e para ir da cidade Y até a cidade Z existem 4 caminhos. Sabendo que para ir da cidade X até a cidade Z tem que passar pela cidade Y, diga de quantos modos alguém pode ir da cidade X até a cidade Z.

Pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos: 5 · 4 = 20

Existem algumas situações em que a quantidade de elementos das sequências levadas em consideração são diferentes, isso deixa inviável o uso do Princípio Fundamental da Contagem. Portanto, esse tipo de situação, geralmente, pode ser resolvida fazendo-se o uso de um diagrama de árvore.

Exemplo 2:

Uma pessoa lança uma moeda sucessivamente e irá parar de lançar se obter duas coroas consecutivas ou até lançar três vezes, isto é, irá para quando obter uma dessas duas situações. Quantos resultados diferentes essa pessoa pode obter?

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