Volume das Principais Figuras Espaciais

No estudo da Física, costumamos resolver problemas envolvendo o volume de algumas figuras geométricas. Com isso, é fundamental sabermos calcular o volume de algumas figuras.

Volume do Cubo

Para calcular o volume de um cubo de aresta \(a\), basta elevar a aresta ao cubo.

\[V = a^3\]

Volume do Paralelepípedo Retangular

Para calcular o volume de um paralelepípedo retangular, basta realizarmos o produto entre o comprimento (\(a\)), a largura (\(b\)) e a altura (\(c\)).

\[V = a \cdot b \cdot c\]

Volume do Prisma Regular

Para calcular o volume de um prisma regular, basta realizarmos o produto entre a área da base (\(B\)) e a altura (\(h\)).

\[V = B \cdot h\]

Volume da Pirâmide

Para calcular o volume de uma pirâmide, basta realizarmos o produto entre a área da base (\(B\)) e a altura (\(h\)) e em seguida dividirmos por três.

\[V = \dfrac{B \cdot h}{3}\]

Volume do Cilindro

Para calcular o volume de um cilindro, basta realizarmos o produto entre a área da base (\(B = \pi \cdot R^2\)) e a altura (\(h\)).

\[V = B \cdot h = \pi \cdot R^2 \cdot h\]

Volume do Cone

Para calcular o volume de um cone, basta realizarmos o produto entre a área da base (\(B = \pi \cdot R^2\)) e a altura (\(h\)) e em seguida dividir por três.

\[V = \dfrac{B \cdot h}{3} = \dfrac{\pi \cdot R^2 \cdot h}{3}\]

Volume da Esfera

O volume de uma esfera é igual a quatro terços de \(\pi \cdot R^3\).

\[V = \dfrac{4}{3} \cdot \pi \cdot R^3\]

Exercícios

1. Determine o volume de um cubo cuja aresta mede \(5\text{ m}\).

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Utilizando a fórmula do volume do cubo (\(V = a^3\)):

\[V = 5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 125\text{ m}^3\]

2. Considere uma caixa de água com formato de um paralelepípedo reto retângulo totalmente cheia, com comprimento de \(8\text{ m}\), largura de \(5\text{ m}\) e altura de \(3\text{ m}\). Calcule a área total e o volume de água da caixa.

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Volume (\(V\)):

\[V = a \cdot b \cdot c = 8 \cdot 5 \cdot 3 = 120\text{ m}^3\]

Área Total (\(A_t\)):

\[A_t = 2(ab + ac + bc) = 2(8 \cdot 5 + 8 \cdot 3 + 5 \cdot 3)\] \[A_t = 2(40 + 24 + 15) = 2(79) = 158\text{ m}^2\]

3. Calcule o volume de um prisma triangular reto, com altura de \(50\text{ cm}\) e aresta da base (triângulo equilátero) medindo \(20\text{ cm}\).

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1. Área da base triangular equilátera (\(B = \dfrac{L^2 \sqrt{3}}{4}\)):

\[B = \dfrac{20^2 \sqrt{3}}{4} = \dfrac{400 \sqrt{3}}{4} = 100\sqrt{3}\text{ cm}^2\]

2. Volume do prisma (\(V = B \cdot h\)):

\[V = 100\sqrt{3} \cdot 50 = 5.000\sqrt{3}\text{ cm}^3 \approx 8.660{,}25\text{ cm}^3\]

4. Calcule o volume de uma pirâmide quadrangular com aresta da base igual a \(4\text{ cm}\) e altura de \(7\text{ cm}\).

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1. Área da base quadrada (\(B = L^2\)):

\[B = 4^2 = 16\text{ cm}^2\]

2. Volume da pirâmide (\(V = \dfrac{B \cdot h}{3}\)):

\[V = \dfrac{16 \cdot 7}{3} = \dfrac{112}{3}\text{ cm}^3 \approx 37{,}33\text{ cm}^3\]

5. Determine o volume de um cilindro cuja altura é de \(2{,}5\text{ m}\) e raio da base de \(80\text{ cm}\).

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Convertendo o raio para metros: \(80\text{ cm} = 0{,}8\text{ m}\).

Volume (\(V = \pi \cdot R^2 \cdot h\)):

\[V = \pi \cdot (0{,}8)^2 \cdot 2{,}5 = \pi \cdot 0{,}64 \cdot 2{,}5 = 1{,}6\pi\text{ m}^3 \approx 5{,}026\text{ m}^3\]

6. Determine o volume de um cone cujo raio é \(5\text{ cm}\) e altura \(8\text{ cm}\).

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Volume (\(V = \dfrac{\pi \cdot R^2 \cdot h}{3}\)):

\[V = \dfrac{\pi \cdot 5^2 \cdot 8}{3} = \dfrac{\pi \cdot 25 \cdot 8}{3} = \dfrac{200\pi}{3}\text{ cm}^3 \approx 209{,}44\text{ cm}^3\]

7. Determine o volume de uma esfera cujo raio é \(20\text{ cm}\).

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Volume (\(V = \dfrac{4}{3} \cdot \pi \cdot R^3\)):

\[V = \dfrac{4}{3} \cdot \pi \cdot 20^3 = \dfrac{4}{3} \cdot \pi \cdot 8.000 = \dfrac{32.000\pi}{3}\text{ cm}^3 \approx 33.510{,}32\text{ cm}^3\]