Volume das Principais Figuras Espaciais

No estudo da Física, costumamos resolver problemas envolvendo o volume de algumas figuras geométricas. Com isso, é fundamental sabermos calcular o volume de algumas figuras.

Volume do Cubo

Para calcular o volume de um cubo de aresta \(a\), basta elevar a aresta ao cubo.

\[V = a^3\]

Volume do Paralelepípedo Retangular

Para calcular o volume de um paralelepípedo retangular, basta realizarmos o produto entre o comprimento (\(a\)), a largura (\(b\)) e a altura (\(c\)).

\[V = a \cdot b \cdot c\]

Volume do Prisma Regular

Para calcular o volume de um prisma regular, basta realizarmos o produto entre a área da base (\(B\)) e a altura (\(h\)).

\[V = B \cdot h\]

Volume da Pirâmide

Para calcular o volume de uma pirâmide, basta realizarmos o produto entre a área da base (\(B\)) e a altura (\(h\)) e em seguida dividirmos por três.

\[V = \dfrac{B \cdot h}{3}\]

Volume do Cilindro

Para calcular o volume de um cilindro, basta realizarmos o produto entre a área da base (\(B = \pi \cdot R^2\)) e a altura (\(h\)).

\[V = B \cdot h = \pi \cdot R^2 \cdot h\]

Volume do Cone

Para calcular o volume de um cone, basta realizarmos o produto entre a área da base (\(B = \pi \cdot R^2\)) e a altura (\(h\)) e em seguida dividir por três.

\[V = \dfrac{B \cdot h}{3} = \dfrac{\pi \cdot R^2 \cdot h}{3}\]

Volume da Esfera

O volume de uma esfera é igual a quatro terços de \(\pi \cdot R^3\).

\[V = \dfrac{4}{3} \cdot \pi \cdot R^3\]

Exercícios

1. Determine o volume de um cubo cuja aresta mede \(5\text{ m}\).

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Utilizando a fórmula do volume do cubo (\(V = a^3\)):

\[V = 5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 125\text{ m}^3\]

2. Considere uma caixa de água com formato de um paralelepípedo reto retângulo totalmente cheia, com comprimento de \(8\text{ m}\), largura de \(5\text{ m}\) e altura de \(3\text{ m}\). Calcule a área total e o volume de água da caixa.

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Volume (\(V\)):

\[V = a \cdot b \cdot c = 8 \cdot 5 \cdot 3 = 120\text{ m}^3\]

Área Total (\(A_t\)):

\[A_t = 2(ab + ac + bc) = 2(8 \cdot 5 + 8 \cdot 3 + 5 \cdot 3)\] \[A_t = 2(40 + 24 + 15) = 2(79) = 158\text{ m}^2\]

3. Calcule o volume de um prisma triangular reto, com altura de \(50\text{ cm}\) e aresta da base (triângulo equilátero) medindo \(20\text{ cm}\).

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1. Área da base triangular equilátera (\(B = \dfrac{L^2 \sqrt{3}}{4}\)):

\[B = \dfrac{20^2 \sqrt{3}}{4} = \dfrac{400 \sqrt{3}}{4} = 100\sqrt{3}\text{ cm}^2\]

2. Volume do prisma (\(V = B \cdot h\)):

\[V = 100\sqrt{3} \cdot 50 = 5.000\sqrt{3}\text{ cm}^3 \approx 8.660{,}25\text{ cm}^3\]

4. Calcule o volume de uma pirâmide quadrangular com aresta da base igual a \(4\text{ cm}\) e altura de \(7\text{ cm}\).

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1. Área da base quadrada (\(B = L^2\)):

\[B = 4^2 = 16\text{ cm}^2\]

2. Volume da pirâmide (\(V = \dfrac{B \cdot h}{3}\)):

\[V = \dfrac{16 \cdot 7}{3} = \dfrac{112}{3}\text{ cm}^3 \approx 37{,}33\text{ cm}^3\]

5. Determine o volume de um cilindro cuja altura é de \(2{,}5\text{ m}\) e raio da base de \(80\text{ cm}\).

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Convertendo o raio para metros: \(80\text{ cm} = 0{,}8\text{ m}\).

Volume (\(V = \pi \cdot R^2 \cdot h\)):

\[V = \pi \cdot (0{,}8)^2 \cdot 2{,}5 = \pi \cdot 0{,}64 \cdot 2{,}5 = 1{,}6\pi\text{ m}^3 \approx 5{,}026\text{ m}^3\]

6. Determine o volume de um cone cujo raio é \(5\text{ cm}\) e altura \(8\text{ cm}\).

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Volume (\(V = \dfrac{\pi \cdot R^2 \cdot h}{3}\)):

\[V = \dfrac{\pi \cdot 5^2 \cdot 8}{3} = \dfrac{\pi \cdot 25 \cdot 8}{3} = \dfrac{200\pi}{3}\text{ cm}^3 \approx 209{,}44\text{ cm}^3\]

7. Determine o volume de uma esfera cujo raio é \(20\text{ cm}\).

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Volume (\(V = \dfrac{4}{3} \cdot \pi \cdot R^3\)):

\[V = \dfrac{4}{3} \cdot \pi \cdot 20^3 = \dfrac{4}{3} \cdot \pi \cdot 8.000 = \dfrac{32.000\pi}{3}\text{ cm}^3 \approx 33.510{,}32\text{ cm}^3\]

Unidades de Volume

O volume é o espaço ocupado por um corpo. A unidade de volume no Sistema Internacional de Unidades (SI) é o metro cúbico (\(\text{m}^3\)). Essa unidade corresponde ao volume de um cubo que possui a medida de cada um dos lados (largura, comprimento e altura) igual a \(1\text{ m}\).

Usamos o metro cúbico para expressar medidas de volume. Também podemos representar medidas de volume por meio dos múltiplos e submúltiplos do \(\text{m}^3\), ou seja, uma medida de volume pode ser expressa por meio do \(\text{m}^3\) acompanhado de alguns prefixos.

Múltiplos e Submúltiplos do \(\text{m}^3\)

Múltiplos do \(\text{m}^3\)

• \(\blacktriangleright 1\text{ km}^3 = 1\cdot(10^3)^3\text{ m}^3 = 1 \cdot 10^9\text{ m}^3 = 1.000.000.000\text{ m}^3\)
• \(\blacktriangleright 1\text{ hm}^3 = 1\cdot(10^2)^3\text{ m}^3 = 1 \cdot 10^6\text{ m}^3 = 1.000.000\text{ m}^3\)
• \(\blacktriangleright 1\text{ dam}^3 = 1\cdot(10^1)^3\text{ m}^3 = 1 \cdot 10^3\text{ m}^3 = 1.000\text{ m}^3\)

Submúltiplos do \(\text{m}^3\)

• \(\blacktriangleright 1\text{ dm}^3 = 1\cdot(10^{-1})^3\text{ m}^3 = 1 \cdot 10^{-3}\text{ m}^3 = \frac{1}{10^3}\text{ m}^3 = 0{,}001\text{ m}^3\)
• \(\blacktriangleright 1\text{ cm}^3 = 1\cdot(10^{-2})^3\text{ m}^3 = 1 \cdot 10^{-6}\text{ m}^3 = \frac{1}{10^6}\text{ m}^3 = 0{,}000001\text{ m}^3\)
• \(\blacktriangleright 1\text{ mm}^3 = 1\cdot(10^{-3})^3\text{ m}^3 = 1 \cdot 10^{-9}\text{ m}^3 = \frac{1}{10^9}\text{ m}^3 = 0{,}000000001\text{ m}^3\)

Esquema para Conversão

\(\text{km}^3 \quad \rightleftharpoons \quad \text{hm}^3 \quad \rightleftharpoons \quad \text{dam}^3 \quad \rightleftharpoons \quad \text{m}^3 \quad \rightleftharpoons \quad \text{dm}^3 \quad \rightleftharpoons \quad \text{cm}^3 \quad \rightleftharpoons \quad \text{mm}^3\)

\(\blacktriangleright\) Cada salto para a direita: multiplica-se por \(1.000\) (\(10^3\)).

\(\blacktriangleright\) Cada salto para a esquerda: divide-se por \(1.000\) (\(10^3\)).

Exercícios Propostos

Efetue as seguintes conversões:

a) Converta \(1\text{ m}^3\) em \(\text{hm}^3\)

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De \(\text{m}^3\) para \(\text{hm}^3\) são \(2\) saltos para a esquerda (dividir por \(1.000^2 = 1.000.000\)):

\[1 \div 1.000.000 = 10^{-6}\text{ hm}^3 = 0{,}000001\text{ hm}^3\]

b) Converta \(1\text{ hm}^3\) em \(\text{dam}^3\)

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De \(\text{hm}^3\) para \(\text{dam}^3\) é \(1\) salto para a direita (multiplicar por \(1.000\)):

\[1 \times 1.000 = 1.000\text{ dam}^3\]

c) Converta \(1\text{ km}^3\) em \(\text{m}^3\)

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De \(\text{km}^3\) para \(\text{m}^3\) são \(3\) saltos para a direita (multiplicar por \(1.000^3 = 1.000.000.000\)):

\[1 \times 1.000.000.000 = 10^9\text{ m}^3 = 1.000.000.000\text{ m}^3\]

d) Converta \(1\text{ km}^3\) em \(\text{dm}^3\)

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De \(\text{km}^3\) para \(\text{dm}^3\) são \(4\) saltos para a direita (multiplicar por \(10^{12}\)):

\[1 \times 10^{12} = 1.000.000.000.000\text{ dm}^3\]

e) Converta \(2.000\text{ mm}^3\) em \(\text{m}^3\)

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De \(\text{mm}^3\) para \(\text{m}^3\) são \(3\) saltos para a esquerda (dividir por \(1.000^3 = 10^9\)):

\[2.000 \div 10^9 = 2.000 \times 10^{-9} = 2 \times 10^{-6}\text{ m}^3 = 0{,}000002\text{ m}^3\]

f) Converta \(300\text{ cm}^3\) em \(\text{dam}^3\)

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De \(\text{cm}^3\) para \(\text{dam}^3\) são \(3\) saltos para a esquerda (dividir por \(10^9\)):

\[300 \div 10^9 = 300 \times 10^{-9} = 3 \times 10^{-7}\text{ dam}^3 = 0{,}0000003\text{ dam}^3\]

g) Converta \(10\text{ dam}^3\) em \(\text{mm}^3\)

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De \(\text{dam}^3\) para \(\text{mm}^3\) são \(4\) saltos para a direita (multiplicar por \(10^{12}\)):

\[10 \times 10^{12} = 10^{13}\text{ mm}^3 = 10.000.000.000.000\text{ mm}^3\]

Unidades Agrárias

Usamos as unidades agrárias para expressar medidas de terras. Embora essas unidades não estejam no SI, elas são bastante usadas. O are é a unidade agrária usada para medir terras, ele corresponde à área de um quadrado que tem a medida do lado igual a \(10\text{ m}\).

Principais Unidades Agrárias

Unidade	Símbolo	Valor no SI
hectare	ha	\(1\text{ ha} = 10.000\text{ m}^2\)
are	a	\(1\text{ a} = 100\text{ m}^2\)
centiare	ca	\(1\text{ ca} = 1\text{ m}^2\)

Outras unidades usadas para expressar as medidas de terras são o alqueire e a linha. Para compreender melhor essas unidades, é preciso saber que \(1\text{ braça} = 2{,}20\text{ metros}\).

Unidade	Braças	Metros	Hectares
Alqueire mineiro	\(100 \times 100\)	\(220 \times 220\)	\(4{,}84\text{ ha}\)
Linha	\(25 \times 25\)	\(55 \times 55\)	\(0{,}3025\text{ ha}\)

Exercícios Propostos

1. Uma fazenda tem forma quadrada e mede \(1.000.000\) de hectares:

1. Quantos ares mede essa fazenda?
2. Quantos centiares mede essa fazenda?
3. Quantos alqueires mede essa fazenda?
4. Quantas linhas mede essa fazenda?

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a) Ares: Como \(1\text{ ha} = 100\text{ a}\):
\[1.000.000\text{ ha} \times 100 = 100.000.000\text{ ares}\]

b) Centiares: Como \(1\text{ ha} = 10.000\text{ ca}\):
\[1.000.000\text{ ha} \times 10.000 = 10.000.000.000\text{ centiares}\]

c) Alqueires Mineiros: Como \(1\text{ alqueire} = 4{,}84\text{ ha}\):
\[\frac{1.000.000}{4{,}84} \approx 206.611{,}57\text{ alqueires}\]

d) Linhas: Como \(1\text{ linha} = 0{,}3025\text{ ha}\):
\[\frac{1.000.000}{0{,}3025} \approx 3.305.785{,}12\text{ linhas}\]

2. Quantos hectares possui uma região circular cujo raio mede \(10.000\text{ metros}\)?

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Área do círculo em metros quadrados (\(\pi \approx 3{,}14\)):
\[\text{Área} = \pi \cdot R^2 = 3{,}14 \times (10.000)^2 = 3{,}14 \times 100.000.000 = 314.000.000\text{ m}^2\]

Convertendo para hectares (\(1\text{ ha} = 10.000\text{ m}^2\)):
\[\text{Área em ha} = \frac{314.000.000}{10.000} = 31.400\text{ ha}\]

3. Quantos alqueires mineiros mede uma floresta triangular cujas medidas da base e da altura desse triângulo são \(500\) e \(800\) braças, respectivamente?

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1. Área em braças quadradas (\(\text{br}^2\)):
\[\text{Área} = \frac{b \times a}{2} = \frac{500 \times 800}{2} = \frac{400.000}{2} = 200.000\text{ br}^2\]

2. Como \(1\text{ alqueire mineiro} = 100 \times 100 = 10.000\text{ br}^2\):
\[\text{Quantidade de alqueires} = \frac{200.000}{10.000} = 20\text{ alqueires mineiros}\]

4. Quantas linhas tem uma fazenda de \(64\) alqueires mineiros?

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1. Área de \(1\text{ alqueire mineiro} = 10.000\text{ br}^2\).
Área de \(1\text{ linha} = 25 \times 25 = 625\text{ br}^2\).

2. Razão entre alqueire e linha:
\[1\text{ alqueire} = \frac{10.000}{625} = 16\text{ linhas}\]

3. Para \(64\) alqueires:
\[64 \times 16 = 1.024\text{ linhas}\]

Área das Principais Figuras Planas

No estudo da Física e da Matemática, costumamos resolver problemas envolvendo a área de várias figuras geométricas. Por isso, é fundamental sabermos calcular a superfície das principais figuras planas.

Fórmulas Gerais

Quadrado

Para calcular a área de um quadrado de lado \(a\), basta elevar a medida do lado ao quadrado.

\[\text{Área} = a^2\]

Retângulo

Para calcular a área de um retângulo de base \(b\) e altura \(a\), basta multiplicar a base pela altura.

\[\text{Área} = b \times a\]

Paralelogramo

Para calcular a área de um paralelogramo de base \(b\) e altura \(a\), multiplicamos a base pela altura.

\[\text{Área} = b \times a\]

Triângulo

Para calcular a área de um triângulo, multiplica-se a base \(b\) pela altura \(a\) e divide-se o resultado por 2.

\[\text{Área} = \frac{b \times a}{2}\]

Trapézio

Soma-se a base maior \(B\) com a base menor \(b\), multiplica-se pela altura \(a\) e divide-se por 2.

\[\text{Área} = \frac{(B + b) \times a}{2}\]

Losango

Para calcular a área de um losango, realiza-se o produto entre a diagonal maior \(D\) e a diagonal menor \(d\) e divide-se por 2.

\[\text{Área} = \frac{D \times d}{2}\]

Círculo

Para calcular a área de um círculo, multiplica-se a constante \(\pi\) pelo raio \(R\) elevado ao quadrado.

\[\text{Área} = \pi \cdot R^2\]

Exercícios Propostos

1. Determine a área de um quadrado cujo lado tem medida igual a \(7\text{ cm}\).

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\[\text{Área} = a^2 = 7^2 = 49\text{ cm}^2\]

2. Qual a área de um retângulo cuja base mede \(216\text{ mm}\) e a altura \(100\text{ mm}\)?

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\[\text{Área} = b \times a = 216 \times 100 = 21.600\text{ mm}^2 \quad (216\text{ cm}^2)\]

3. Determine a área de um paralelogramo cuja base mede \(4\text{ m}\) e a altura \(2{,}5\text{ m}\).

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\[\text{Área} = b \times a = 4 \times 2{,}5 = 10\text{ m}^2\]

4. Qual a área de um triângulo cuja base mede \(6\text{ km}\) e a altura \(7.000\text{ m}\)?

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Ajuste de unidades: \(7.000\text{ m} = 7\text{ km}\)

\[\text{Área} = \frac{b \times a}{2} = \frac{6 \times 7}{2} = \frac{42}{2} = 21\text{ km}^2\]

5. Determine a área de um trapézio cuja base maior mede \(8\text{ m}\), a base menor \(4\text{ m}\) e a altura \(10\text{ m}\).

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\[\text{Área} = \frac{(B + b) \times a}{2} = \frac{(8 + 4) \times 10}{2} = \frac{12 \times 10}{2} = 60\text{ m}^2\]

6. Qual a área de um losango cuja medida da diagonal menor é \(6\text{ m}\) e a medida da diagonal maior é o dobro da diagonal menor?

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Valores: \(d = 6\text{ m}\) e \(D = 2 \times 6 = 12\text{ m}\)

\[\text{Área} = \frac{D \times d}{2} = \frac{12 \times 6}{2} = \frac{72}{2} = 36\text{ m}^2\]

7. Qual a área de um círculo cujo raio mede \(3\text{ m}\)? (Use \(\pi = 3{,}14\))

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\[\text{Área} = \pi \cdot R^2 = 3{,}14 \times 3^2 = 3{,}14 \times 9 = 28{,}26\text{ m}^2\]

Unidades de Área

A unidade de área no Sistema Internacional de Unidades (SI) é o metro quadrado (m²). Essa unidade corresponde à área de um quadrado que possui a medida do lado igual a 1 m.

Usamos o metro quadrado para expressar medidas de superfície. Também podemos representar medidas de área por meio dos múltiplos e submúltiplos do m², ou seja, uma medida de área pode ser expressa por meio do m² acompanhado de alguns prefixos.

1 m²

Quadrado com lado de 1 m

Múltiplos e Submúltiplos do Metro Quadrado

Múltiplos (Medidas Maiores)

• 1 km² = (10³)² m² = 1 × 10⁶ m² = 1.000.000 m²
• 1 hm² = (10²)² m² = 1 × 10⁴ m² = 10.000 m²
• 1 dam² = (10¹)² m² = 1 × 10² m² = 100 m²

Submúltiplos (Medidas Menores)

• 1 dm² = (10^-1)² m² = 1 × 10^-2 m² = 0,01 m²
• 1 cm² = (10^-2)² m² = 1 × 10^-4 m² = 0,0001 m²
• 1 mm² = (10^-3)² m² = 1 × 10^-6 m² = 0,000001 m²

Esquema Prático para Conversão

km² → hm² → dam² → m² → dm² → cm² → mm²

• Para a DIREITA (→): Cada "salto" para a direita, multiplicamos por 100 (× 10²).

• Para a ESQUERDA (←): Cada "salto" para a esquerda, dividimos por 100 (÷ 10²).

Exercícios de Conversão

Efetue as seguintes conversões:

1. 1 m² em hm²
2. 1 hm² em dam²
3. 1 km² em m²
4. 1 km² em dm²
5. 2000 mm² em m²
6. 300 cm² em dam²
7. 10 dam² em mm²

Clique aqui para ver as Respostas e Resoluções

a) 1 m² → hm²: Recua 2 casas para a esquerda (÷ 100² = ÷ 10.000) → 1 ÷ 10.000 = 0,0001 hm² (ou 10^-4 hm²)

b) 1 hm² → dam²: Avança 1 casa para a direita (× 100) → 1 × 100 = 100 dam²

c) 1 km² → m²: Avança 3 casas para a direita (× 100³ = × 1.000.000) → 1 × 1.000.000 = 1.000.000 m² (ou 10⁶ m²)

d) 1 km² → dm²: Avança 4 casas para a direita (× 100⁴ = × 100.000.000) → 1 × 100.000.000 = 100.000.000 dm² (ou 10⁸ dm²)

e) 2000 mm² → m²: Recua 3 casas para a esquerda (÷ 1.000.000) → 2000 ÷ 1.000.000 = 0,002 m² (ou 2 × 10^-3 m²)

f) 300 cm² → dam²: Recua 3 casas para a esquerda (÷ 1.000.000) → 300 ÷ 1.000.000 = 0,0003 dam² (ou 3 × 10^-4 dam²)

g) 10 dam² → mm²: Avança 4 casas para a direita (× 100⁴ = × 100.000.000) → 10 × 100.000.000 = 1.000.000.000 mm² (ou 10⁹ mm²)

Unidades de Comprimento: Definições, Conversões e Exercícios Resolvidos

No Sistema Internacional de Unidades (SI), a unidade padrão de comprimento é o metro (m). Atualmente, o metro é definido com base na velocidade da luz no vácuo: ele corresponde ao espaço percorrido pela luz no vácuo no intervalo de tempo de ¹⁄_299.792.458 de segundo (onde 299.792.458 m/s é a velocidade exata da luz no vácuo).

Múltiplos e Submúltiplos do Metro

Múltiplos (Medidas Maiores)

• 1 km (quilômetro) = 1 × 10³ m = 1.000 m
• 1 hm (hectômetro) = 1 × 10² m = 100 m
• 1 dam (decâmetro) = 1 × 10¹ m = 10 m

Submúltiplos (Medidas Menores)

• 1 dm (decímetro) = 1 × 10^-1 m = 0,1 m
• 1 cm (centímetro) = 1 × 10^-2 m = 0,01 m
• 1 mm (milímetro) = 1 × 10^-3 m = 0,001 m

Esquema Prático para Conversão

km → hm → dam → m → dm → cm → mm

• Para a DIREITA (→): Multiplica-se por 10 a cada casa avançada (ex: km → m = ×1000).

• Para a ESQUERDA (←): Divide-se por 10 a cada casa recuada (ex: mm → m = ÷1000).

Unidades Especiais e Astronômicas

Nome	Símbolo	Valor no SI (metros)
angström	Å	10-10 m
unidade astronômica	UA	≈ 1,496 × 1011 m
ano-luz	al	≈ 9,46 × 1015 m
milha marítima	—	1.852 m
milha terrestre	mi	≈ 1.609 m

• O angström (Å) é utilizado na física atômica, sendo da ordem de grandeza do raio atômico.
• A unidade astronômica (UA) representa a distância média entre a Terra e o Sol.
• O ano-luz (al) mede a distância percorrida pela luz no vácuo durante o período de um ano.

Unidades do Sistema Inglês (Imperial)

Muitos países de língua inglesa (como os Estados Unidos) utilizam o sistema imperial. No Brasil, encontramos frequentemente polegadas na indicação da diagonal de telas/televisores e pés para medir a altitude de aeronaves.

Português	Inglês	Símbolo	Equivalência Interna	Valor no SI
polegada	inch	in.	—	2,54 cm = 0,0254 m
pé	foot	ft	1 ft = 12 in.	30,48 cm = 0,3048 m
jarda	yard	yd	1 yd = 3 ft	91,44 cm = 0,9144 m
milha terrestre	mile	mi	1 mi = 1.760 yd	≈ 1.609 m

Exercícios Resolvidos

Questão 1: Conversões Básicas

Realize as seguintes conversões de unidades de comprimento:

1. 15 m em cm
2. 2 km em dam
3. 2450 mm em m
4. 220 cm em m
5. 2,54 m em km
6. 5.000.000 mm em km

Clique aqui para ver as Respostas

a) 15 m → cm: Avança 2 casas para a direita (× 100) → 15 × 100 = 1.500 cm

b) 2 km → dam: Avança 2 casas para a direita (× 100) → 2 × 100 = 200 dam

c) 2450 mm → m: Recua 3 casas para a esquerda (÷ 1000) → 2450 ÷ 1000 = 2,45 m

d) 220 cm → m: Recua 2 casas para a esquerda (÷ 100) → 220 ÷ 100 = 2,2 m

e) 2,54 m → km: Recua 3 casas para a esquerda (÷ 1000) → 2,54 ÷ 1000 = 0,00254 km (ou 2,54 × 10^-3 km)

f) 5.000.000 mm → km: Recua 6 casas para a esquerda (÷ 1.000.000) → 5.000.000 ÷ 1.000.000 = 5 km

Questão 2: Polegadas em Centímetros

Uma televisão possui 65 polegadas de diagonal. Qual é a medida dessa diagonal em centímetros?

Clique aqui para ver a Resolução

Sabendo que 1 polegada (in.) = 2,54 cm, basta multiplicar o valor dado por 2,54:

65 × 2,54 cm = 165,1 cm

Resposta: A medida da diagonal corresponde a 165,1 cm.

Questão 3 (PUC-SP)

O pêndulo de um relógio "cuco" faz uma oscilação completa a cada segundo. A cada oscilação do pêndulo, o peso desce 0,02 mm. Em 24 horas, o peso se desloca, aproximadamente:

(A) 1,20 m
(B) 1,44 m
(C) 1,60 m
(D) 1,73 m
(E) 1,85 m

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1. Calcular o número de segundos em 24 horas:
1 dia = 24 h = 24 × 3.600 s = 86.400 segundos.

2. Calcular o deslocamento total em milímetros (mm):
Como o peso desce 0,02 mm por segundo:
Deslocamento = 86.400 × 0,02 mm = 1.728 mm.

3. Converter milímetros para metros (m):
Dividindo por 1.000:
1.728 mm ÷ 1.000 = 1,728 m ≈ 1,73 m.

Gabarito: Alternativa (D)

Questão 4 (UF-AC)

Num campo de futebol não oficial, as traves verticais do gol distam entre si 8,15 m. Considerando que 1 jarda vale 3 pés e que 1 pé mede 30,48 cm, a largura mais aproximada desse gol, em jardas, é:

(A) 6,3
(B) 8,9
(C) 12,5
(D) 10,2
(E) 14,0

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1. Descobrir quanto vale 1 jarda em metros:
1 pé = 30,48 cm = 0,3048 m
1 jarda = 3 pés = 3 × 0,3048 m = 0,9144 m

2. Converter a largura do gol (8,15 m) em jardas:
Largura em jardas = 8,15 ÷ 0,9144 ≈ 8,91 jardas

O valor mais próximo é 8,9.

Gabarito: Alternativa (B)

Questão 5 (UF-SC)

Uma tartaruga percorre trajetórias, em relação à Terra, com os seguintes comprimentos: 23 centímetros; 0,66 metro; 0,04 metro; 40 milímetros. O comprimento da trajetória total percorrida pela tartaruga, em cm, é:

(A) 42
(B) 97
(C) 24,34
(D) 23,78

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Para somar as trajetórias, devemos converter todas as medidas para a mesma unidade (centímetros):

• 23 cm = 23 cm
• 0,66 m = 0,66 × 100 = 66 cm
• 0,04 m = 0,04 × 100 = 4 cm
• 40 mm = 40 ÷ 10 = 4 cm

Somando os valores:

Total = 23 + 66 + 4 + 4 = 97 cm

Gabarito: Alternativa (B)

Questão 6 (Enem-MEC)

No depósito de uma biblioteca há caixas contendo folhas de papel de 0,1 mm de espessura, e em cada uma delas estão anotados 10 títulos de livros diferentes. Essas folhas foram empilhadas formando uma torre vertical de 1 m de altura. Qual a representação, em potência de 10, correspondente à quantidade de títulos de livros registrados nesse empilhamento?

(A) 10²
(B) 10⁴
(C) 10⁵
(D) 10⁶
(E) 10⁷

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1. Converter a altura da torre para milímetros (mm):
1 m = 1.000 mm = 10³ mm.

2. Escrever a espessura de cada folha em milímetros:
0,1 mm = 10^-1 mm.

3. Calcular o número total de folhas na torre:
Nº de folhas = (Altura total) ÷ (Espessura da folha)
Nº de folhas = 10³ / 10^-1 = 10^{3 - (-1)} = 10⁴ folhas.

4. Calcular o total de títulos registrados:
Como cada folha possui 10 títulos (10¹ títulos):
Total de títulos = 10⁴ folhas × 10¹ títulos/folha = 10⁵ títulos.

Gabarito: Alternativa (C)

Unidades de Tempo: Conversões, Intervalos e Exercícios Resolvidos

O segundo (s) é a unidade fundamental de tempo estabelecida pelo Sistema Internacional de Unidades (SI). Contudo, em nosso dia a dia, é extremamente comum utilizarmos unidades que não pertencem estritamente ao SI, tais como o minuto, a hora, o dia e o ano.

Principais Unidades e Conversões para o SI

Unidade	Símbolo	Valor e Relações no SI
minuto	min	1 min = 60 s
hora	h	1 h = 60 min = 3.600 s
dia	d	1 d = 24 h = 1.440 min = 86.400 s
ano	a	1 a = 365 d 5 h 48 min 46 s ≈ 31.556.926 s

Atenção à Notação de Tempo vs. Ângulos!

É fundamental não confundir as representações das unidades de tempo (minuto e segundo) com as unidades de medida angular (minuto de arco e segundo de arco):

• Unidades de tempo: 6 h 44 min 25 s
• Unidades de ângulo: 6° 44' 25'' (ou no contexto de hora angular: 6 h 44' 25'')

Cálculo de Intervalo de Tempo (Δt)

Na Física, expressamos instantes específicos de tempo com a letra t acompanhada de subíndices (por exemplo, t₁ para o instante inicial e t₂ para o instante final). O intervalo de tempo (Δt) entre dois instantes é dado pela diferença:

Δt = t₂ − t₁

Exercícios Resolvidos

Questão 1: Subtração de Instantes

Se um determinado evento teve início no instante t₁ = 12 h 34 min 26 s e terminou no instante t₂ = 15 h 25 min 12 s, qual foi o intervalo de tempo (Δt) de duração desse evento?

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Queremos calcular Δt = t₂ − t₁:

  15 h 25 min 12 s
− 12 h 34 min 26 s
-----------------------

Como os segundos do instante final (12 s) são menores que os do inicial (26 s), "pedimos emprestado" 1 min (60 s) aos 25 min:

• 25 min passa a ser 24 min
• 12 s ganha + 60 s = 72 s

Como os minutos (24 min) ainda são menores que 34 min, "pedimos emprestado" 1 h (60 min) às 15 h:

• 15 h passa a ser 14 h
• 24 min ganha + 60 min = 84 min

Reescrevendo a subtração:

  14 h 84 min 72 s
− 12 h 34 min 26 s
-----------------------
  02 h 50 min 46 s

Resposta: O intervalo de tempo durou 2 h 50 min 46 s.

Questão 2: Decomposição de Horas Decimais

Qual é o valor de x e y na igualdade 5,2 h = x h y min?

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Separamos a parte inteira da parte decimal do tempo dado em horas:

5,2 h = 5 h + 0,2 h

A parte inteira nos dá x = 5.

Para converter a fração decimal (0,2 h) em minutos, multiplicamos por 60:

0,2 × 60 min = 12 min → y = 12

Resposta: x = 5 e y = 12 (ou seja, 5,2 h = 5 h 12 min).

Questão 3: Voltas do Ponteiro do Relógio

Levando em consideração um relógio analógico de ponteiros, quantas voltas aproximadamente o ponteiro dos minutos executa em 40 dias?

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1. O ponteiro dos minutos completa 1 volta completa a cada 1 hora.

2. Em 1 dia temos 24 horas, portanto o ponteiro dos minutos dá 24 voltas por dia.

3. Em 40 dias:

Número de voltas = 40 × 24 = 960 voltas

Resposta: O ponteiro dos minutos executa 960 voltas.

Questão 4 (Vunesp-SP)

No Sistema Internacional de Unidades, um intervalo de tempo de 2,4 min equivale a:

(A) 24 s
(B) 124 s
(C) 144 s
(D) 164 s
(E) 240 s

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Como 1 min = 60 s, para converter minutos em segundos basta multiplicar por 60:

2,4 × 60 s = 144 s

Gabarito: Alternativa (C)

Questão 5 (PUCC-SP)

Um intervalo de tempo de 25.972,5 segundos é igual a:

(A) 7 h 12 min 52,5 s
(B) 7 h 21 min 145 s
(C) 432 h 52,5 min
(D) 7 h 772 min 0,5 s
(E) 432,875 h

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1. Obter as horas:
Sabendo que 1 h = 3.600 s, dividimos o total por 3.600:
25.972,5 ÷ 3.600 = 7,2145833... h
A parte inteira equivale a 7 horas.

2. Calcular o resto em segundos:
7 horas × 3.600 s = 25.200 s
25.972,5 s − 25.200 s = 772,5 s restantes.

3. Obter os minutos:
Dividimos o resto por 60:
772,5 ÷ 60 = 12,875 min
A parte inteira equivale a 12 minutos.

4. Calcular os segundos restantes:
12 minutos × 60 s = 720 s
772,5 s − 720 s = 52,5 s

Assim, o tempo total é 7 h 12 min 52,5 s.

Gabarito: Alternativa (A)